Contoh Soal Deret Aritmatika Pembahasan Lengkap

Contoh soal deret aritmatika merupakan pintu gerbang untuk memahami konsep barisan dan deret bilangan yang memiliki pola tertentu. Deret aritmatika, dengan selisih antar suku yang konstan, sering muncul dalam berbagai aplikasi, dari perhitungan sederhana hingga pemecahan masalah yang lebih kompleks. Memahami konsep dasar deret aritmatika, seperti mencari suku ke-n dan jumlah n suku pertama, akan membantu Anda menyelesaikan berbagai soal dengan mudah dan efisien.

Materi ini akan membahas secara rinci pengertian deret aritmatika, rumus-rumus penting, serta berbagai contoh soal, mulai dari soal dasar hingga soal cerita yang lebih menantang. Dengan pemahaman yang kuat terhadap konsep dan teknik penyelesaian yang tepat, Anda akan mampu menguasai materi ini dengan percaya diri.

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan suatu barisan bilangan yang memiliki pola penjumlahan yang tetap antara suku-suku yang berurutan. Perbedaan antara setiap suku yang berdekatan selalu konstan, dan konstanta ini disebut beda (b). Dengan memahami konsep ini, kita dapat memprediksi suku-suku selanjutnya dan menghitung jumlah suku-suku tertentu dalam deret tersebut. Contoh sederhana deret aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, …

di mana bedanya (b) adalah 3.

Rumus Suku ke-n Deret Aritmatika

Untuk menentukan suku ke-n (Un) dari suatu deret aritmatika, kita dapat menggunakan rumus berikut. Rumus ini memungkinkan kita untuk menghitung nilai suku tertentu tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Hal ini sangat berguna, terutama ketika kita berurusan dengan deret yang memiliki banyak suku.

Un = a + (n-1)b

di mana:

• Un = suku ke-n
• a = suku pertama
• n = banyaknya suku
• b = beda (selisih antara dua suku berurutan)

Rumus-Rumus Penting dalam Deret Aritmatika

Berikut tabel yang merangkum rumus-rumus penting dalam deret aritmatika. Memahami dan menguasai rumus-rumus ini akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan deret aritmatika.

Perbedaan Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika dan deret aritmatika seringkali membingungkan. Perbedaan mendasarnya terletak pada bagaimana kita memandang urutan bilangan tersebut. Barisan aritmatika hanya berupa daftar suku-suku yang memiliki beda konstan, sementara deret aritmatika merupakan jumlah dari suku-suku dalam barisan aritmatika tersebut.

Contoh: Barisan aritmatika: 2, 5, 8,
11. Deret aritmatika: 2 + 5 + 8 + 11 = 26

Contoh Soal Cerita Deret Aritmatika

Seorang anak menabung setiap hari dengan jumlah yang bertambah secara tetap. Pada hari pertama ia menabung Rp 1.000, hari kedua Rp 1.500, hari ketiga Rp 2.000, dan seterusnya. Berapakah total tabungan anak tersebut setelah 10 hari?

Penyelesaian:

Ini merupakan deret aritmatika dengan a = 1000, b = 500, dan n = 10. Kita dapat menggunakan rumus Sn = n/2 (2a + (n-1)b) untuk menghitung total tabungan.

Sn = 10/2 (2(1000) + (10-1)500) = 5 (2000 + 4500) = 32500

Jadi, total tabungan anak tersebut setelah 10 hari adalah Rp 32.500.

Menentukan Suku ke-n (Un) Deret Aritmatika

Menentukan suku ke-n (Un) suatu deret aritmatika merupakan langkah penting dalam memahami dan menganalisis pola bilangan tersebut. Dengan mengetahui rumus umum dan cara menentukan beda (b), kita dapat memprediksi nilai suku berapapun dalam deret tersebut tanpa harus menghitungnya satu per satu. Berikut penjelasan lebih lanjut mengenai cara menentukan suku ke-n.

Menentukan Suku ke-10 Deret Aritmatika

Mari kita tinjau contoh deret aritmatika: 2, 5, 8, 11, … Untuk menentukan suku ke-10 (U ₁₀), kita perlu mengidentifikasi suku pertama (a) dan beda (b) terlebih dahulu. Suku pertama (a) adalah 2, dan beda (b) didapat dari selisih antara dua suku berurutan, yaitu 5 – 2 = 3. Rumus umum untuk mencari suku ke-n adalah U _n = a + (n-1)b.

Dengan demikian, U ₁₀ = 2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29. Jadi, suku ke-10 dari deret tersebut adalah 29.

Menentukan Suku ke-n Suatu Deret Aritmatika

Misalkan kita memiliki deret aritmatika dengan suku pertama a = 7 dan beda b =
4. Kita ingin mencari suku ke-15 (U ₁₅). Menggunakan rumus U _n = a + (n-1)b, kita substitusikan nilai-nilai yang diketahui: U ₁₅ = 7 + (15-1)4 = 7 + 56 = 63. Jadi, suku ke-15 dari deret ini adalah 63.

1. Identifikasi suku pertama (a).
2. Tentukan beda (b) dengan mengurangi suatu suku dengan suku sebelumnya.
3. Substitusikan nilai a, b, dan n ke dalam rumus U_n = a + (n-1)b.
4. Hitung nilai U _n.

Menentukan Beda (b) Suatu Deret Aritmatika, Contoh soal deret aritmatika

Beda (b) dalam deret aritmatika merupakan selisih tetap antara dua suku berurutan. Untuk menentukan beda, cukup kurangi suatu suku dengan suku sebelumnya. Contoh: pada deret 3, 7, 11, 15, …, beda (b) adalah 7 – 3 = 4 (atau 11 – 7 = 4, dan seterusnya).

Mencari Beda (b) Sebelum Menentukan Suku ke-n

Misalkan diketahui suku ke-3 (U ₃) adalah 16 dan suku ke-7 (U ₇) adalah 32 dari suatu deret aritmatika. Kita perlu mencari beda (b) terlebih dahulu. Kita tahu bahwa U _n = a + (n-1)b. Maka, U ₃ = a + 2b = 16 dan U ₇ = a + 6b = 32. Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini (misalnya dengan metode eliminasi atau substitusi), kita peroleh b = 4.

Setelah mendapatkan b = 4, kita dapat mencari nilai a dan selanjutnya menentukan suku ke-n yang diinginkan.

Menentukan Rumus Suku ke-n dari Suku yang Tidak Berurutan

Jika diketahui beberapa suku yang tidak berurutan, misalnya U ₂ = 11 dan U ₅ = 23, kita dapat menentukan rumus suku ke-n. Kita memiliki persamaan: U ₂ = a + b = 11 dan U ₅ = a + 4b = 23. Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini, kita dapatkan a = 7 dan b = 4. Dengan demikian, rumus suku ke-n deret tersebut adalah U _n = 7 + (n-1)4 = 4n + 3.

Menentukan Jumlah n Suku Pertama (Sn) Deret Aritmatika

Menentukan jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika merupakan hal penting dalam memahami pola dan sifat deret tersebut. Kemampuan ini bermanfaat dalam berbagai aplikasi, mulai dari perhitungan sederhana hingga pemecahan masalah yang lebih kompleks dalam matematika dan ilmu terapan.

Rumus umum untuk menghitung jumlah n suku pertama (Sn) deret aritmatika adalah:

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

dimana:

• Sn = Jumlah n suku pertama
• n = Banyaknya suku
• a = Suku pertama
• b = Beda antar suku

Menghitung Jumlah 20 Suku Pertama Deret 3, 7, 11, 15, …

Pada deret 3, 7, 11, 15, …, suku pertama (a) adalah 3 dan beda antar suku (b) adalah 7 – 3 =
4. Untuk menghitung jumlah 20 suku pertama (n = 20), kita gunakan rumus di atas:

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

Sn = 20/2 (2(3) + (20-1)(4))

Sn = 10 (6 + 19(4))

Sn = 10 (6 + 76)

Sn = 10 (82)

Sn = 820

Jadi, jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 820.

Mencari Jumlah n Suku Pertama Suatu Deret Aritmatika

Misalkan kita memiliki deret aritmatika dengan suku pertama a = 5 dan beda b =
3. Kita ingin mencari jumlah 15 suku pertama (n = 15). Dengan menggunakan rumus yang sama:

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

Sn = 15/2 (2(5) + (15-1)(3))

Sn = 7.5 (10 + 14(3))

Sn = 7.5 (10 + 42)

Sn = 7.5 (52)

Sn = 390

Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 390.

Penentuan Jumlah Suku Ganjil atau Genap

Untuk menentukan jumlah suku ganjil atau genap, kita perlu memperhatikan pola deret. Misalnya, pada deret 2, 4, 6, 8, …, jumlah suku genap hingga suku ke-n dapat dihitung dengan rumus yang dimodifikasi, atau dengan mengidentifikasi pola penjumlahan. Secara umum, diperlukan analisis khusus terhadap pola deret untuk menentukan jumlah suku ganjil atau genap.

Contoh Soal Cerita: Menentukan Jumlah n Suku Pertama

Seorang pekerja membangun tembok dengan pola bata yang membentuk deret aritmatika. Pada hari pertama ia memasang 10 bata, hari kedua 13 bata, hari ketiga 16 bata, dan seterusnya. Berapa total bata yang terpasang setelah 12 hari?

Ini merupakan deret aritmatika dengan a = 10 dan b =
3. Kita ingin mencari Sn untuk n = 12:

Sn = 12/2 (2(10) + (12-1)(3))

Sn = 6 (20 + 33)

Sn = 6 (53)

Sn = 318

Total bata yang terpasang setelah 12 hari adalah 318 bata.

Menggabungkan Pencarian Suku ke-n dan Jumlah n Suku Pertama

Misalkan suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 (a5) = 22 dan suku ke-10 (a10) = 47. Kita dapat mencari beda (b) dengan (a10 – a5) / (10-5) = 25/5 = 5. Kemudian, kita dapat mencari suku pertama (a) dengan a = a5 – 4b = 22 – 4(5) = 2. Setelah itu, kita dapat menghitung jumlah 15 suku pertama (n=15) menggunakan rumus Sn.

Sn = 15/2 (2(2) + (15-1)(5))

Sn = 7.5 (4 + 70)

Sn = 7.5 (74)

Sn = 555

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 555.

Soal Cerita Deret Aritmatika

Soal cerita deret aritmatika merupakan aplikasi langsung dari konsep deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari. Kemampuan untuk menyelesaikan soal cerita ini menunjukkan pemahaman yang baik tentang konsep beda, suku ke-n, dan jumlah n suku pertama deret aritmatika.

Berikut ini akan disajikan beberapa contoh soal cerita deret aritmatika beserta penyelesaiannya secara lengkap dan rinci. Penjelasan langkah-langkah umum penyelesaian juga akan disertakan untuk memudahkan pemahaman.

Contoh Soal Cerita Deret Aritmatika dan Penyelesaiannya

Berikut adalah tiga contoh soal cerita deret aritmatika yang berbeda, masing-masing dilengkapi dengan penyelesaian langkah demi langkah.

1. Soal 1: Seorang anak menabung uang setiap hari dengan jumlah yang selalu bertambah. Pada hari pertama ia menabung Rp 1.000, hari kedua Rp 1.500, hari ketiga Rp 2.000, dan seterusnya. Berapa total uang tabungan anak tersebut setelah 10 hari?
2. Soal 2: Sebuah tangga terdiri dari beberapa anak tangga. Anak tangga pertama memiliki tinggi 20 cm, anak tangga kedua 22 cm, anak tangga ketiga 24 cm, dan seterusnya dengan selisih tinggi antar anak tangga yang tetap. Jika tinggi total tangga adalah 252 cm, berapa banyak anak tangga pada tangga tersebut?
3. Soal 3: Sebuah perusahaan memproduksi sepeda motor. Pada bulan pertama, perusahaan tersebut memproduksi 100 unit sepeda motor. Setiap bulan berikutnya, produksi meningkat sebanyak 25 unit. Berapa total sepeda motor yang diproduksi perusahaan tersebut selama satu tahun (12 bulan)?

Penyelesaian Contoh Soal

Berikut penyelesaian untuk masing-masing soal cerita di atas:

1. Soal 1: Ini merupakan deret aritmatika dengan a = 1000 dan b = 500. Kita ingin mencari S ₁₀ (jumlah 10 suku pertama). Menggunakan rumus S _n = n/2 (2a + (n-1)b), maka S ₁₀ = 10/2 (2(1000) + (10-1)500) = 5 (2000 + 4500) = 32500. Jadi, total tabungan anak tersebut setelah 10 hari adalah Rp 32.500.

2. Soal 2: Ini merupakan deret aritmatika dengan a = 20 dan b = 2. Kita ingin mencari n (banyak suku) jika S _n = 252. Menggunakan rumus S _n = n/2 (2a + (n-1)b), maka 252 = n/2 (2(20) + (n-1)2). Persamaan ini dapat disederhanakan menjadi n ² + 19n – 252 = 0. Memecahkan persamaan kuadrat ini, kita peroleh n = 9 (nilai n negatif diabaikan karena tidak mungkin).

   Jadi, tangga tersebut memiliki 9 anak tangga.

3. Soal 3: Ini merupakan deret aritmatika dengan a = 100 dan b = 25. Kita ingin mencari S ₁₂. Menggunakan rumus S _n = n/2 (2a + (n-1)b), maka S ₁₂ = 12/2 (2(100) + (12-1)25) = 6 (200 + 275) = 2850. Jadi, total sepeda motor yang diproduksi selama satu tahun adalah 2850 unit.

Langkah-langkah Umum Penyelesaian Soal Cerita Deret Aritmatika

Langkah-langkah umum dalam menyelesaikan soal cerita deret aritmatika adalah: 1. Identifikasi apakah soal tersebut merupakan deret aritmatika. 2. Tentukan nilai a (suku pertama) dan b (beda). 3. Tentukan nilai n (banyak suku) atau S_n (jumlah n suku pertama) yang ingin dicari. 4. Gunakan rumus yang sesuai (S _n = n/2 (2a + (n-1)b) atau a _n = a + (n-1)b) untuk menyelesaikan soal.

Contoh Soal Cerita yang Menantang

Sebuah perusahaan teknologi merencanakan peningkatan jumlah karyawan setiap tahunnya. Pada tahun pertama, jumlah karyawan adalah 50 orang. Setiap tahun berikutnya, jumlah karyawan meningkat sebesar 15% dari jumlah karyawan tahun sebelumnya. Berapa total jumlah karyawan perusahaan tersebut selama 5 tahun?

Perlu diperhatikan bahwa soal ini sedikit berbeda karena peningkatannya bersifat persentase, bukan penambahan tetap. Ini membutuhkan pendekatan yang sedikit berbeda dan tidak sepenuhnya merupakan deret aritmatika murni. Meskipun demikian, konsep dasar deret masih dapat diaplikasikan dengan sedikit modifikasi.

Ilustrasi Deskriptif Soal Cerita

Mari kita gambarkan skenario pada Soal 2 secara detail. Bayangkan sebuah tangga kayu tua yang kokoh berdiri di sudut sebuah rumah bergaya kolonial. Anak tangga pertama, yang paling bawah, memiliki tinggi 20 cm, dibuat dari kayu jati yang sudah mengkilap karena terpaan sinar matahari selama bertahun-tahun. Setiap anak tangga berikutnya sedikit lebih tinggi, tepatnya 2 cm lebih tinggi dari anak tangga sebelumnya.

Kayu jati yang sama digunakan untuk semua anak tangga, namun warna kayu sedikit lebih gelap pada anak tangga yang lebih atas karena kurang terpapar sinar matahari. Total tinggi tangga tersebut, dari anak tangga pertama hingga paling atas, adalah 252 cm. Kita dapat membayangkan betapa kokoh dan klasiknya tangga ini, mencerminkan usia dan ketahanan bangunan rumah tersebut.

Bayangan tangga tersebut terbentang di lantai kayu yang mengkilap, menciptakan pola geometri yang menarik.

Ulasan Penutup: Contoh Soal Deret Aritmatika

Setelah mempelajari berbagai contoh soal deret aritmatika, diharapkan pemahaman Anda terhadap konsep barisan dan deret aritmatika semakin matang. Kemampuan untuk menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama, serta mengaplikasikannya dalam soal cerita, merupakan kunci keberhasilan dalam memecahkan masalah matematika yang lebih kompleks. Latihan soal secara rutin sangat dianjurkan untuk mempertajam kemampuan dan mengasah pemahaman konseptual.